题目内容
16．在数列{an}中，a1=$\frac{1}{2}$，an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*）．（1）求证：an+3=an；
（2）求a2011．
分析 （1）通过将an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$代入计算可知an+3=an；
（2）通过（1）可知数列{an}是以3为周期的周期数列，利用2011=670×3+1可知a2011=a1=$\frac{1}{2}$．
解答 （1）证明：∵an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），
∴an+3=1-$\frac{1}{{a}_{n+2}}$
=1-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}}}$
=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$
=an，
即an+3=an；
（2）解：由（1）可知数列{an}是以3为周期的周期数列，
∵2011=670×3+1，
∴a2011=a1=$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
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