Question

6．若对任意的x≥1，不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{1}{x+a}$（a＞-1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得a≤$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，令f（x）=$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，x≥1，由ln（1+x）＜x，即有ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，即有f（x）＞0，可得a的范围．

解答 解：不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{1}{x+a}$（a＞-1）成立，
即为a≤$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，
令f（x）=$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，x≥1，
由ln（1+x）-x（x＞0）的导数为$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，
即有ln（1+x）-x＜0，即为ln（1+x）＜x，
即有ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，
即$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$＞x，即有$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x＞0，
则有-1＜a≤0，
故实数a的取值范围是（-1，0]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数求范围，属于中档题．