Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

（1）求证：PC⊥BC

（2）求点A到平面PBC的距离

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2）连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求

试题解析：（1）①证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．

由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，

∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC．

②设点A到平面PBC的距离为h，

∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，

连接AC（图略），∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，

∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，

∴VPABC＝S△ABC·PD＝，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝，

∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝PC·BC＝，

∵VAPBC＝VPABC，∴S△PBC·h＝，∴h＝，

∴点A到平面PBC的距离为．