题目内容

12.$\sqrt{2+\frac{2}{3}},\sqrt{3+\frac{3}{8}},\sqrt{4+\frac{4}{15}},\sqrt{5+\frac{5}{24}},…$,由此猜想出第n(n∈N+)个数是$\sqrt{(n+1)+\frac{n+1}{{{{(n+1)}^2}-1}}}$.

分析 根号下由两个数组成,前一个数是首项为2,公差为1的等差数列,后一个数是分数,通项是$\frac{n+1}{(n+1)^{2}-1}$,从而可猜想第n个数.

解答 解:∵$\sqrt{2+\frac{2}{3}},\sqrt{3+\frac{3}{8}},\sqrt{4+\frac{4}{15}},\sqrt{5+\frac{5}{24}},…$,
∴将根号下的数分成两个数的和,2,3,4…的通项是n+1;
$\frac{2}{3}$,$\frac{3}{8}$,$\frac{4}{15}$…的通项是$\frac{n+1}{(n+1)^{2}-1}$
∴由此猜想第n个数为$\sqrt{(n+1)+\frac{n+1}{{{{(n+1)}^2}-1}}}$.
故答案为:$\sqrt{(n+1)+\frac{n+1}{{{{(n+1)}^2}-1}}}$.

点评 本题考查了归纳推理,考查了信息获取能力,先利用已知的计算,认真观察是解决此类问题的关键.

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