Question

3．已知曲线y²=4x焦点为F，A、B为曲线上的两点，且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则弦AB中点到准线d的距离为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 设BF=m，由抛物线的定义知AA₁和BB₁，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x₁+x₂的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．

解答 解：设BF=m，由抛物线的定义知
AA₁=3m，BB₁=m
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，k_AB=$\sqrt{3}$
直线AB方程为y=$\sqrt{3}$（x-1）
与抛物线方程联立消y得3x²-10x+3=0
所以AB中点到准线距离为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+1$=$\frac{5}{3}$+1=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．