Question

1．已知曲线f（x）=a（x-1）²+blnx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）若函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解导数，根据单调性得出f'（x）≤0在[2，+∞）上恒成立，转化为f'（x）最大值≤0，成立即可．
（Ⅱ）不等式f（x）≤x-1恒成立，转化为构造g（x）=f（x）-x+1在∈[1，+∞）上恒有g（x）≤0，再利用g（x）最大值问题求解即可，具体分类讨论．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2ax-2a+\frac{b}{x}$由题知f'（1）=b=1
∴f（x）=a（x-1）²+lnx，
$f'（x）=2ax-2a+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}$，f（x）在[2，+∞）上单减，
∴f'（x）≤0在[2，+∞）上恒成立
即2ax²-2ax+1≤0在[2，+∞）上恒成立，2a≤${（-\frac{1}{{{x^2}-x}}）_{min}}=-\frac{1}{2}$，
∴a≤$-\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x+1=a（x-1）²+lnx-x+1，则g（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
$g'（x）=2ax-2a+\frac{1}{x}-1=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
当2a≤0即a≤0时，g'（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上单减，
∴g（x）≤g（1）=0，符合题意；
当$0＜\frac{1}{2a}$≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上单增，
∴当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，矛盾；
当$\frac{1}{2a}＞1$时，g（x）在$[1，\frac{1}{2a}）$上单减，$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单增，而$g（\frac{1}{a}+1）=ln（\frac{1}{a}+1）＞0$，矛盾；
综上，a≤0．

点评 本题综合考查了导数的运用，结合不等式，求解最值，判断求解单调性，不等式恒成立问题，综合性较强，难度较大．