题目内容
已知函数,.(其中为自然对数的底数).
(1)设曲线在处的切线与直线垂直,求的值;
(2)若对于任意实数≥0,恒成立,试确定实数的取值范围;
(3)当时,是否存在实数,使曲线C:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)=-1 (2) (3)不存在
解析试题分析:(1), 因此在处的切线的斜率为,
又直线的斜率为, ∴()=-1,∴ =-1.
(2)∵当≥0时,恒成立,
∴ 先考虑=0,此时,,可为任意实数;
又当>0时,恒成立,
则恒成立, 设=,则=,
当∈(0,1)时,>0,在(0,1)上单调递增,
当∈(1,+∞)时,<0,在(1,+∞)上单调递减,
故当=1时,取得极大值,, ∴ 实数的取值范围为.
(3)依题意,曲线C的方程为,
令=,则
直. 设,则,
当,,故在上的最小值为,
所以≥0,又,∴>0,
而若曲线C:在点处的切线与轴垂直,则=0,矛盾。
所以,不存在实数,使曲线C:在点处的切线与轴垂
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值;两条直线垂直的判定.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,掌握两条直线垂直的判定,掌握导数在最大值、最小值中的运用,是一道中档题.
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