题目内容

6.已知函数f(x)=a2x+$\frac{a}{x}$-2lnx,a∈R.
(1)若x=1是函数f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上不是单调函数,试求实数a的取值范围.

分析 (1)先求导,再令导数等于0,解得a的值,需要验证是否成立;
(2)需要分类讨论,当a=0时,显然不成立,当a≠0时,由f′(x)=0,得到a2x2-2x-a=0,设g(x)=a2x2-2x-a,则函数g(x)在(1,+∞)上至少有一个零点,根据函数的单调性确定零点的个数,继而求出a的取值范围.

解答 解:(1)∵f′(x)=a2-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{a}^{2}{x}^{2}-2a-a}{{x}^{2}}$,
∴f′(1)=a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,
当a=-1时,f′(x)=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{{x}^{2}}$≥0恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)单调递增,函数无极值,
当a=2时,f′(x)=$\frac{4{x}^{2}-2x-2}{{x}^{2}}$,
函数f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,有极小值,
综上所述:a=2;
(2)f(x)在区间(1,+∞)上不是单调函数,
①当a=0时,f′(x)=-$\frac{2}{x}$<0恒成立,函数在(1,+∞)单调递减,不合题意,
②当a≠0是,由f′(x)=0,得到a2x2-2x-a=0,
设g(x)=a2x2-2x-a,
则函数g(x)在(1,+∞)上至少有一个零点,
不妨设g(x)=0的两实数根为x1,x2,且x1<x2
∴△=4+4a3>0,解得a>-1且a≠0,
当-1<a<0时,x1+x2=$\frac{2}{{a}^{2}}$>1,x1x2=-$\frac{1}{a}$>1,
且(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=(1+$\frac{1}{a}$)(1-$\frac{2}{a}$)<0,
∴x1<1<x2
∴函数f(x)在(1,x1)递减,在(x2,+∞)递增,满足题意,
当a>0时,x1+x2=$\frac{2}{{a}^{2}}$>0,x1x2=-$\frac{1}{a}$<0,
∴x1<0<x2
∴要使f(x)在区间(1,+∞)上不是单调函数,只需要g(1)=a2-a-2<0即可,
解得0<a<2,
综上所述:a的范围为(-1,0)∪(0,2).

点评 本题考查了导数和函数的极值问题,以及参数的取值范围,属于中档题.

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