题目内容
(本小题满分13分)
已知函数,其中为常数,且。
(I) 当时,求在( )上的值域;
(II) 若对任意恒成立,求实数的取值范围。
已知函数,其中为常数,且。
(I) 当时,求在( )上的值域;
(II) 若对任意恒成立,求实数的取值范围。
(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅰ)当时,
得 ………………2分
令,即,解得,所以函数在上为增函数,
据此,函数在上为增函数, ………………4分
而,,所以函数在上的值域为
………………6分
(Ⅱ)由令,得即
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增; ……………7分
若,即,易得函数在上为增函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即
而,即,所以此时无解.
………………8分
若,即,易知函数在上为减函数,在上为增函数,
要使对恒成立,只需,即,
由和
得. ………………10分
若,即,易得函数在上为减函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即,又因为,所以. ……………12分
综合上述,实数a的取值范围是. ……………13分
得 ………………2分
令,即,解得,所以函数在上为增函数,
据此,函数在上为增函数, ………………4分
而,,所以函数在上的值域为
………………6分
(Ⅱ)由令,得即
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增; ……………7分
若,即,易得函数在上为增函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即
而,即,所以此时无解.
………………8分
若,即,易知函数在上为减函数,在上为增函数,
要使对恒成立,只需,即,
由和
得. ………………10分
若,即,易得函数在上为减函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即,又因为,所以. ……………12分
综合上述,实数a的取值范围是. ……………13分
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