Question

10．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是A₁C₁与B₁D₁的交点，且A₁C与平面AB₁D₁交于点G．求证：O，G，A三点共线．

Answer 1

分析 由已知条件推导出O、G、A三点都是平面AB₁D₁与平面A₁C的公共点，由此利用公理三能证明O、G、A三点在同一条直线上．

解答 证明：如图，∵A₁C₁∩B₁D₁=O，∴O∈A₁C₁，O∈B₁D₁．
又∵A₁C₁?平面A₁C，B₁D₁?平面AB₁D₁，∴O∈平面A₁C，O∈平面AB₁D₁．
又∵A₁C∩平面AB₁D₁=G，∴G∈A₁C，G∈平面AB₁D₁．∴G∈平面A₁C．
又∵A∈平面A₁C，A∈平面AB₁D₁，
∴O、G、A三点都是平面AB₁D₁与平面A₁C的公共点，
∴由公理三得O、G、A三点在同一条直线上．

点评 本题考查三点共线的证明，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意公理三的合理运用．