Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$，判断f（x）的奇偶性，单调性，并求出函数的值域．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性，单调性的定义进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$，
∴f（-x）=$\frac{1{0}^{-x}-1{0}^{x}}{1{0}^{-x}+1{0}^{x}}$=-$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
∵f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{（1{0}^{x}）^{2}-1}{（1{0}^{x}）^{2}+1}$=$\frac{（1{0}^{x}）^{2}+1-2}{（1{0}^{x}）^{2}+1}$=1-$\frac{2}{（1{0}^{x}）^{2}+1}$，
∴设t=10^x，则t＞0，则函数t为增函数．
则函数等价为y=g（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}+1}$，
∵t²+1在（0，+∞）上为增函数，
∴g（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}+1}$在（0，+∞）上为增函数，
即函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∵g（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}+1}$，
∴g（t）＞g（0）=1-2=-1，故函数的值域为（-1，+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性，单调性和值域的求解和判断，根据函数的定义结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．