题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
的焦点F在直线
上。
(Ⅰ)求抛物线C的方程。
(Ⅱ)过点做互相垂直的两条直线
与曲线C交于A,B两点,
与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M、N,求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标。
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)直线
过定点
,其坐标为
.
【解析】
(Ⅰ)由抛物线的焦点
在直线
上,求得焦点的坐标,进而得出
,即可求解抛物线的标准方程;
(Ⅱ)设直线的方程为
,联立方程组,利用根与系数的关系,求解点
的坐标,分类讨论,即可求解.
(Ⅰ)抛物线
的焦点
在直线
上,
为
,
即
,
抛物线
的方程为
.
(Ⅱ)易知直线,
的斜率存在且不为0,设直线
的斜率为
,
,
,
则直线:
,
,
由得
,
,
∴,
,
∴.同理得
.
当或
时,直线
的方程为
;
当且
时,直线
的斜率为
,
∴直线的方程为
,即
,
∴直线过定点
,其坐标为
.
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