题目内容
【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥中,
垂直平分
,垂足为
,
是面积为
的等边三角形,
,
,
平面
,垂足为
,
为线段
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)要证线面垂直,一般先证线线垂直,这可由和
是等边三角形及O是AB中点易得;
(2)要求直线与平面所成的角,一种方法作出线面角的平面角,然后解三角形得结论,也可建立空间直角坐标系,如解析中的坐标系,写出各点坐标,求出直线的方向向量与平面的法向量,由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得.
试题解析:
(1)证明:∵垂直平分
,垂足为
,∴
.
∵,∴
是等边三角形.
又是等边三角形.
∴是
中点,
,
.
∵,
,
平面
,∴
平面
.
(2)解:由(1)知,平面
平面
.
因为平面与平面
的交线为
.
∵平面
.∴
.
又等边面积为
,∴
又,∴
是
中点.
如图建立空间直角坐标系,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,取
,则
,
.
即平面的一个法向量为
.
所以与平面
所成角的正弦值为
.
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