Question

9．已知二次函数f（x）=x²+4x，三次函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
（1）探究；是否存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）若m，n是方程lnx-ax=0的两个不同的根，记函数h（x）=f（x）+g（x），当函数h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2时，求证：h（mn）＞h（e²）（e为自然对数底数）

Answer 1

分析 （1）若存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限，则函数g（x）的两个极值异号，进而求出实数b的取值范围；
（2）根据h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2，求出b值，分析函数的单调性，可得结论．

解答 解：（1）∵三次函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
∴g′（x）=bx²-2bx-3b．
令g′（x）=0，则x=-1，或x=3，
若存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限，
则g（-1）•g（3）＜0，即（$\frac{5}{3}$b+1）（-9b+1）＜0，
解得：b∈（-∞，-$\frac{3}{5}$）∪（$\frac{1}{9}$，+∞）；
证明：（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{3}$bx³+（1-b）x²+（4-3b）x+1．
∴h′（x）=bx²+（2-2b）x+4-3b．
∵h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2，
∴h′（0）=4-3b=1，
解得：b=1，
此时h（x）=$\frac{1}{3}$x³+x+1．
h′（x）=x²+1≥0恒成立，
h（x）在R为增函数，
要证h（mn）＞h（e²），只需证mn＞e²．
设m＞n＞0，k（x）=lnx-ax，
∵k（m）=0，k（n）=0，
∴lnm-am=0，lnn-an=0，
∴lnm-lnn=a（m-n），lnm+lnn=a（m+n）
原不等式mn＞e²等价于lnm+lnn＞2?a（m+n）＞2，
?$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞$\frac{2}{m+n}$?ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$，
令$\frac{m}{n}$=t，则t＞1，
∴ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
设l（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
∴l′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函数l（t）在（1，+∞）是递增，
∴l（t）＞l（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故不等式mn＞e²成立．
即有h（mn）＞h（e²）．

点评 本题主要考查了导数在求切线斜率和函数单调性中的应用，考查构造函数和运用单调性，属于难题