Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞

2

）的离心率为

2

2

，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点（0，

2

）为圆心，1为半径的圆相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线C的焦点为F₁和F₂，由已知

c

a

=

a2-2

a

=

2

2

求得a和c，设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离为1求得k，进而的双曲线的渐近线方程，判断出双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a₁，进而根据2a₁²=c²=2，求得a₁，双曲线方程可得．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，进而根据判别式及题设条件求得m的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂由中点坐标公式得AB的中点，令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，进而根据m的范围求得b的范围．

解答：解：（1）设双曲线C的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0．
由已知

c

a

=

a2-2

a

=

2

2

，
得a=2，c=

2

，
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
依题意，

|k•0- 2 |

k2+1

=1，解得k=±1．
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a₁，
则2a₁²=c²=2，得a₁²=1．
∴双曲线C的方程为x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0，
∴直线与双曲线C的左支交于A、B两点，
∴

1-m2≠0 △＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2m

1-m2

，x₁x₂=

-2

1-m2

，
y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2=

2

1-m2

，
由中点坐标公式得AB的中点为（

m

1-m2

，

1

1-m2

），
∴直线l的方程为x=（-2m²+m+2）y-2，
令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，
∵m∈（1，

2

），b的值存在，∴-2m²+m+2≠0，
∴b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8 ，

而-2（m-

1

4

）²+

17

8

∈（-2+

2

，0）∪（0，1），
∴故b的取值范围是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，平时应注意积累．