Question

对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 对

自然数，规定为的阶差分数列，其中。

（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

（3）（理）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）（3）存在

解析:

（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。，∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（2），即，即，∴ ，∵，∴，，，猜想：，

证明：ⅰ）当时，；ⅱ）假设时，；时，

 结论也成立， ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。

（3），即 ，

 ∵，

 ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。