Question

1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=DC=1，以D为圆心，DC为半径，作弧和AD交于点E，点P为劣弧CE上的动点，如图所示．
（1）求|$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$|；
（2）求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，代入各点坐标计算；
（2）设P（cosα，sinα），用α表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，转化成三角函数求最值．

解答 解：（1）以DA所在直线为x轴，D为原点建立平面直角坐标系，
则 A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，1），∴$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$=（2，1）．
∴|$\overrightarrow{DA}+DC$|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）设点$P（cosα，sinα），0≤α≤\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}=（2-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow{PB}=（1-cosα，1-sinα）$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（2-cosα）（1-cosα）+（-sinα）（1-sinα）$=-（sinα+3cosα）+3=$-\sqrt{10}sin（α+φ）+3$，（sinφ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosφ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）
∵$α∈[0，\frac{π}{2}]，tanφ=3$
∴当sin（α+φ）=1时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取得最小值是$3-\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，建立坐标系是关键．