题目内容
【题目】已知函数与
(
为常数)的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)若关于的不等式
有解,求实数
的取值范围;
(2)对于函数和
公共定义域内的任意实数
,我们把
的值称为两函数在
处的“瞬间距离”.则函数
与
的所有“瞬间距离”是否都大于2?请加以证明.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)根据函数的切线平行,利用导数相等可求出c,则原不等式可转化为,只需求
的最大值即可(2)由题意
=
,只需分析其值大于2即可,构造函数
可证
,构造
并证明
,利用不等式传递性即可证出
.
(1)函数只与
轴交于点
,
只与
轴交于点
.而
,
,由
得
,又由已知显然
,故
,
,
.
那么,不等式可化为
(
)
令,则
,
,又
,
,故
,
,则
在
递减,
,要使(
)有解,则应有
.
(2)与
的公共定义域为
,且
=
令,则
,
在
递增,
,即
①
同理,令,则
,当
时,
,
递减;当
时,
,
递增.
故,即
②
由①②知,
,故
.
故函数与
的所有“瞬间距离”都大于2.
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编号 | 等级 | ||||
1号方案 | 8 | 41 | 26 | 15 | 10 |
2号方案 | 7 | 33 | 20 | 20 | 20 |
(Ⅰ)若从对1号方案评价为的师生中任选3人,求这3人中至少有1人对1号方案评价为
的概率;
(Ⅱ)在级以上(含
级),可获得2万元的奖励,
级奖励
万元,
级无奖励.若以此表格数据估计概率,随机请1名师生分别对两个方案进行独立评价,求两个方案获得的奖励总金额
(单位:万元)的分布列和数学期望.