题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(1)若函数在
处取得极值,求实数
的值;并求此时
在
上的最大值;
(2)若函数不存在零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】【试题分析】(1)求得函数定义域和函数导数,将代入函数的导数,利用导数值为
解方程求得
的值.再根据函数的单调性求出函数在区间
上的最大值.(2)对函数求导后,对
分成,
两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得
的取值范围.
【试题解析】
解:(1)函数的定义域为
,
,
,∴
在上
,
单调递减,在
上
,
单调递增,
所以时
取极小值.所以
在
上单调递增,在
上单调递减;
又,
,
.
当时,
在
的最大值为
(2)由于
①当时,
,
是增函数,
且当时,
当时,
,
,取
,则
,
所以函数存在零点
②时,
,
.在
上
,
单调递减,
在上
,
单调递增,
所以时
取最小值.
解得
综上所述:所求的实数的取值范围是
.
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