Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ （a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）﹣kx＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N* ， 且n≥2时， + + +…+ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣ = ，f′（1）=a﹣ ，f（1）= ．

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y=0．

∴a﹣ = ，1﹣2× =0，解得b=2，a=1

（2）解：f（x）=lnx+ ．

当x＞1时，f（x）﹣kx＜0恒成立，

∴lnx+ ﹣kx＜0，化为：k + =g（x）．

g′（x）= ﹣ = ．

令h（x）=x﹣xlnx﹣1，（x＞1）．

h′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，

∴h（x）＜h（1）=0，

∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递减．

∴k≥g（1）=

（3）证明：由（2）可知：x＞1时， + ＜ ，化为 ，

令x=n≥2，则 ＞ = ．

∴当n∈N*，且n≥2时， + + +…+ ＞ + + +…+ +

= ﹣（ ）=

【解析】（1）f′（x）= ﹣ = ，f′（1）=a﹣ ，f（1）= ．由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y=0． 可得a﹣ = ，1﹣2× =0，解得a，b．（2）f（x）=lnx+ ．当x＞1时，f（x）﹣kx＜0恒成立，lnx+ ﹣kx＜0，化为：k + =g（x）．利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．（3）由（2）可知：x＞1时， + ＜ ，化为 ，令x=n≥2，则 ＞ = ．利用“累加求和”方法与“裂项求和”方法即可得出．