题目内容
已知椭圆Γ的方程为
(1)若点M满足

(2)设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l2:y=k2x于点E.若

(3)设点P在椭圆Γ内且不在x轴上,如何构作过PQ中点F的直线l,使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足



【答案】分析:(1)由题意知M是B(0,-b)和Q(a,0)的中点,所以
.
(2)由题设条件得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,所以a2k12+b2-p2>0是CD的中点;
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由
知F为P1P2的中点,由此可得P1(-6,-4)、P2(8,3).
解答:解:(1)∵
,
∴M是B(0,-b)和Q(a,0)的中点,
∴
.
(2)由方程组
,
消y得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,
因为直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点,
所以△>0,即a2k12+b2-p2>0,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x,y),设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x,y),
则
,
由方程组
,消y得方程(k2-k1)x=p,
又因为
,
所以
,
故E为CD的中点;
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,
所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,
由
知F为P1P2的中点,
根据(2)可得直线l的斜率
,
从而得直线l的方程.
,
直线OF的斜率
,
直线l的斜率
,
解方程组
,消y:x2-2x-48=0,
解得P1(-6,-4)、P2(8,3),或P1(8,3)、P2(-6,-4),.
点评:本题考查直线的圆锥曲线的综合问题,解题时要注意公式的灵活运用.

(2)由题设条件得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,所以a2k12+b2-p2>0是CD的中点;
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由

解答:解:(1)∵

∴M是B(0,-b)和Q(a,0)的中点,
∴

(2)由方程组

消y得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,
因为直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点,
所以△>0,即a2k12+b2-p2>0,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x,y),设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x,y),
则

由方程组

又因为

所以

故E为CD的中点;
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,
所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,
由

根据(2)可得直线l的斜率

从而得直线l的方程.

直线OF的斜率

直线l的斜率

解方程组

解得P1(-6,-4)、P2(8,3),或P1(8,3)、P2(-6,-4),.
点评:本题考查直线的圆锥曲线的综合问题,解题时要注意公式的灵活运用.

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