题目内容
已知椭圆C1的方程为
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
•
＞2（其中O为原点），求k的范围．
（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．
| x2 |
| 4 |
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
| 2 |
| OA |
| OB |
（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．
分析：（1）设双曲线C2的方程为
-
=1，则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，由此能求出故C2的方程．
（2）将y=kx+
代入
-y2=1得(1-3k2)x2-6
kx-9=0．由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
，由此能求出k的取值范围．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），线段AB的中垂线方程为y-
=-
(x-
)，令y=0，得m=
=
，由此能求出m的范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（2）将y=kx+
| 2 |
| x2 |
| 3 |
| 2 |
|
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），线段AB的中垂线方程为y-
| ||
| 1-3k2 |
| 1 |
| k |
3
| ||
| 1-3k2 |
4
| ||
| 1-3k2 |
4
| ||
|
解答：解：（1）设双曲线C2的方程为
-
=1，
则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，故C2的方程为
-y2=1
（2）将y=kx+
代入
-y2=1得(1-3k2)x2-6
kx-9=0
由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
∴k2≠
且k2＜1…①A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
)(kx2+
)=(k2+1)x1x2+
k(x1+x2)+2=
又∵
•
＞2，得x1x2+y1y2＞2，∴
＞2
即
＞0，解得：
＜k2＜3，…②，故k的取值范围为(-1，-
)∪(
，1)．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；
当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），
由（2）知x0=
=
，y0=
+
=
于是，线段AB的中垂线方程为y-
=-
(x-
)，令y=0，得m=
=
，由①知，k∈(-1，-
)∪(-
，0)∪(0，
)∪(
，1)
∴
-3k∈R，∴m∈R，且m≠0．
综上所述，m∈R．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，故C2的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）将y=kx+
| 2 |
| x2 |
| 3 |
| 2 |
由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
|
| 1 |
| 3 |
6
| ||
| 1-3k2 |
| -9 |
| 1-3k2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 3k2+7 |
| 3k2-1 |
又∵
| OA |
| OB |
| 3k2+7 |
| 3k2-1 |
即
| -3k2+9 |
| 3k2-1 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；
当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），
由（2）知x0=
| x1+x2 |
| 2 |
3
| ||
| 1-3k2 |
3
| ||
| 1-3k2 |
| 2 |
| ||
| 1-3k2 |
于是，线段AB的中垂线方程为y-
| ||
| 1-3k2 |
| 1 |
| k |
3
| ||
| 1-3k2 |
4
| ||
| 1-3k2 |
4
| ||
|
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴
| 1 |
| k |
综上所述，m∈R．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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