题目内容

已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的范围．
（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．
分析：（1）设双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，由此能求出故C2的方程．
（2）将y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0．由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0
，由此能求出k的取值范围．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），线段AB的中垂线方程为y-
2
1-3k2
=-
1
k
(x-
3
2
k
1-3k2
)，令y=0，得m=
4
2
k
1-3k2
=
4
2
1
k
-3k
，由此能求出m的范围．
解答：解：（1）设双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，
则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，故C2的方程为
x2
3
-y2=1
（2）将y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0
由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0
∴k2≠
1
3
且k2＜1…①A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=
-9
1-3k2
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2=
3k2+7
3k2-1

又∵
OA
•
OB
＞2，得x1x2+y1y2＞2，∴
3k2+7
3k2-1
＞2
即
-3k2+9
3k2-1
＞0，解得：
1
3
＜k2＜3，…②，故k的取值范围为(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；
当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），
由（2）知x0=
x1+x2
2
=
3
2
k
1-3k2
，y0=
3
2
k2
1-3k2
+
2
=
2
1-3k2

于是，线段AB的中垂线方程为y-
2
1-3k2
=-
1
k
(x-
3
2
k
1-3k2
)，令y=0，得m=
4
2
k
1-3k2
=
4
2
1
k
-3k
，由①知，k∈(-1，-
3
3
)∪(-
3
3
，0)∪(0，
3
3
)∪(
3
3
，1)
∴
1
k
-3k∈R，∴m∈R，且m≠0．
综上所述，m∈R．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
OA
•
OB
＜6（其中O为原点），求k的取值范围．
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
已知椭圆C1的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率为
3
2
，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12，椭圆C2的方程为
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1，圆C3：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点Ak．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）求△AkF1F2的面积；
（III）若点P为椭圆C2上的动点，点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，
|OP|
|OM|
=e（e为椭圆C2的离心率），求点M的轨迹．
已知椭圆C1的方程为
x24
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C1交于不同的两点A、B，且满足|OA|2+|OB|2＞|AB|2，（其中O为原点），求l斜率的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网