题目内容
已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC上一点．
(1)点E是PC中点时，求证：BE⊥平面PCD；
(2)在(1)的条件下，求二面角C－BD－E的大小；
(3)当E是PC中点时，在PB上是否存在一点F，使AF∥平面BDE.若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
答案：
解析：
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(1)证明：取PD中点G，连EG、AG，则∵△PAD是正三角形，∴AG⊥PD，又易知 CD⊥平面PAD，∴AG⊥CD， ∴AG⊥平面PCD. 又∵EG∥CD∥AB，且EG= ∴BE∥AG，从而BE⊥平面PCD. (2)
解：取AD中点H，连结PH、HC， 取HC中点N，过N作MN⊥BD于点M，连ME. 由条件易得：PH⊥平面ABCD，又N、E分别是HC和PC的中点，∴EN⊥平面ABCD，则由三垂线定理得：EM⊥BD，故∠EMN就是所求二面角的平面角.设AB=AD=a，则 ∴在Rt△EMN中， (3)存在PB中点F，使AF∥平面BDE. 证明：连结AC交BD于点Q，取PE中点R，连结FR， ∵AQ：QC=AB：CD=1：2，RE：EC=1：2， ∴AR∥QE，∴AR∥平面BDE，又RF∥BE， ∴RF∥平面BDE．∴平面AEF∥平面BDE |
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，∴所求二面角的大小为
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