Question

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ＜

π

2

），则四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：先根据条件得到四边形ABCD的面积S=sinθ，由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA，进而表示出四棱锥P-ABCD的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题．

解答：解：由已知，四边形ABCD的面积S=sinθ，
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，
∴PA=

1

2-2cosθ

，
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

∴V=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

所以，当cosθ=0，即θ=

π

2

时，四棱锥V-ABCD的体积V的最小值是

2

6

当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V-ABCD的体积V的最小值是

1

3

∵0＜θ≤

π

2

∴P-ABCD的体积V的取值范围是[

2

6

，

1

3

）
故选A

点评：本题主要考查棱锥的体积计算，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解答的关键．