题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201204/36/d4b4b29d.png)
(1)证明:FH∥面PAB;
(2)证明:PF⊥FD;
(3)若PB与平米ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
分析:(1)证明FH∥面PAB,利用线面平行的判定,证明线线平行即可;
(2)连接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由线面垂直性质定理可得DF⊥PA,再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD;
(3)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角,解△MNF可得答案.
(2)连接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由线面垂直性质定理可得DF⊥PA,再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD;
(3)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角,解△MNF可得答案.
解答:(1)证明:取PA的中点G,连接GB,GH,则![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/31/d083c7f9.png)
∵底面ABCD是矩形,H为PD中点
∴GH∥BF,GH=BF
∴四边形BFHG是平行四边形
∴FH∥BG
∵FH?面PAB,BG?面PAB
∴FH∥面PAB;
(2)证明:连接AF,则AF=
a,DF=
a
∵AD=2a,∴DF2+AF2=AD2,
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD,
∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,
∴DF⊥平面PAF,
∵PF?平面PAF,∴DF⊥PF
(3)∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,且∠PBA=45°.
∴PA=AB=a
取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,
在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD,
∴MN:PA=MD:PD,
∵PA=a,MD=a,PD=
a,且∠FMN=90°
∴MN=
a,FN=
a,
∴cos∠MNF=MN:FN=
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/31/d083c7f9.png)
∵底面ABCD是矩形,H为PD中点
∴GH∥BF,GH=BF
∴四边形BFHG是平行四边形
∴FH∥BG
∵FH?面PAB,BG?面PAB
∴FH∥面PAB;
(2)证明:连接AF,则AF=
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∵AD=2a,∴DF2+AF2=AD2,
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD,
∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,
∴DF⊥平面PAF,
∵PF?平面PAF,∴DF⊥PF
(3)∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,且∠PBA=45°.
∴PA=AB=a
取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,
在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD,
∴MN:PA=MD:PD,
∵PA=a,MD=a,PD=
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∴MN=
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∴cos∠MNF=MN:FN=
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点评:本题考查线面平行,考查线线垂直,考查面面角,解题的关键是掌握线面平行的判定,利用线面垂直的性质证明线线垂直,属于中档题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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