Question

（2012•即墨市模拟）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F是线段BC的中点．H为PD中点．
（1）证明：FH∥面PAB；
（2）证明：PF⊥FD；
（3）若PB与平米ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明FH∥面PAB，利用线面平行的判定，证明线线平行即可；
（2）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（3）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解△MNF可得答案．

解答：（1）证明：取PA的中点G，连接GB，GH，则
∵底面ABCD是矩形，H为PD中点
∴GH∥BF，GH=BF
∴四边形BFHG是平行四边形
∴FH∥BG
∵FH?面PAB，BG?面PAB
∴FH∥面PAB；
（2）证明：连接AF，则AF=

2

a，DF=

2

a
∵AD=2a，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，∴DF⊥PF
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=a
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴MN：PA=MD：PD，
∵PA=a，MD=a，PD=

5

a，且∠FMN=90°
∴MN=

5

5

a，FN=

30

5

a，
∴cos∠MNF=MN：FN=

6

6

点评：本题考查线面平行，考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，利用线面垂直的性质证明线线垂直，属于中档题．