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(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的余弦值.
分析:(Ⅰ)取PC的中点O,连接OF,证出四边形AEOF是平行四边形,得出AF∥OE,则可证出AF∥平面PEC;
(Ⅱ)由已知,可证∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的 角,在△PCA求其正弦值即可.
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,可得∠PMA是二面角P-EC-D的平面角,在△PMA中计算可得.
(Ⅱ)由已知,可证∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的 角,在△PCA求其正弦值即可.
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,可得∠PMA是二面角P-EC-D的平面角,在△PMA中计算可得.
解答:解:(Ⅰ)取PC的中点O,连接OF、
OE.∴FO∥DC,且FO=
DC
∴FO∥AE
又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形.∴AF∥OE
又OE?平面PEC,AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
(Ⅱ)连接AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中,tan∠PCA=
=
=
即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
由△AME∽△CBE,可得AM=
,∴tan∠PMA=
=
∴二面角P一EC一D的余弦值为
OE.∴FO∥DC,且FO=
1 |
2 |
∴FO∥AE
又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形.∴AF∥OE
又OE?平面PEC,AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
(Ⅱ)连接AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中,tan∠PCA=
PA |
AC |
1 | ||
|
| ||
5 |
即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为
| ||
6 |
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
由△AME∽△CBE,可得AM=
| ||
2 |
PA |
AM |
2 |
∴二面角P一EC一D的余弦值为
| ||
6 |
点评:本小题主要考查空间线面关系、二面角、线面角的计算,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
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