题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
，且离心率为
．
（I）求椭圆
的方程；
(Ⅱ)过椭圆的右顶点
做相互垂直的两条直线
，
，分别交椭圆于
、
（、异于点），问直线
是否通过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】分析：(Ⅰ)由题意计算可得
，在椭圆方程为；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知
，据此分类讨论直线
斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线通过定点
.
详解：（Ⅰ）由题意，得
，解得
，
．
所以椭圆
的方程是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
当直线
的斜率不存在时，
直线的方程设为
．
，
由
得，
，解得
或
（舍去）.
当直线的斜率存在时，设直线的方程设为
，设
，
联立
消去
得
，
则有
，
，
又
，
由
得，
，
，
，
，
即
或
，
若则直线
的方程设为
，过点，不在椭圆内，与题意不符.
若，代入到判别式中，判别式恒大于0，则满足有两个交点.
则直线的方程设为
，过点得
.
综上，直线通过定点．
【题目】在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量
关于
的回归方程模型，其对应的数值如下表：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
|
|
|
|
|
|
(1)请用相关系数
加以说明与之间存在线性相关关系(当
时，说明与之间具有线性相关关系)；
(2)根据(1)的判断结果，建立关于的回归方程并预测当
时，对应的值为多少(
精确到
).
附参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
，相关系数公式为：
.
参考数据：
，
，
，
.
【题目】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品
（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；
（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．
