题目内容
（2012•河北模拟）已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且
=
，a2b2cosC=a2+b2-c2，S△ABC=
．
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．
| b |
| cosB |
| a |
| cosA |
| ||
| 2 |
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．
分析：（I）在△ABC中，由
=
利用正弦定理可得sin（B-A）=0，可得 B-A=0，故△ABC为等腰三角形．
（II） 由余弦定理求出 cosC，代入a2b2cosC=a2+b2-c2可得 ab=2 或 a2+b2-c2 =0．ab=2时，由S△ABC=
求出A的值，可得C的值．当a2+b2-c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，
从而求得A的值，综合可得结论．
| b |
| cosB |
| a |
| cosA |
（II） 由余弦定理求出 cosC，代入a2b2cosC=a2+b2-c2可得 ab=2 或 a2+b2-c2 =0．ab=2时，由S△ABC=
| ||
| 2 |
从而求得A的值，综合可得结论．
解答：解：（I）证明：在△ABC中，∵
=
，由正弦定理可得
=
，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B-A）=0．
再由-π＜A-B＜π 可得 B-A=0，
∴△ABC为等腰三角形．
（II）∵a2b2cosC=a2+b2-c2，且 cosC=
，∴ab•
=a2+b2-c2，即 （ab-2）（ a2+b2-c2）=0．
∴ab=2 或 a2+b2-c2 =0．
当 ab=2时，由S△ABC=
=
•ab•sinC 求得sinC=
，∴C=
，或
，故 A=
或
．
当a2+b2-c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，A=
．
综上可得，A=
，或A=
，或A=
．
| b |
| cosB |
| a |
| cosA |
| sinB |
| cosB |
| sinA |
| cosA |
再由-π＜A-B＜π 可得 B-A=0，
∴△ABC为等腰三角形．
（II）∵a2b2cosC=a2+b2-c2，且 cosC=
| a2+b 2-c 2 |
| 2ab |
| a2+b 2-c 2 |
| 2 |
∴ab=2 或 a2+b2-c2 =0．
当 ab=2时，由S△ABC=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
当a2+b2-c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，A=
| π |
| 4 |
综上可得，A=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
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