Question

如图所示，P是抛物线C：y=

1

2

x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．

Answer 1

设P（x₀，y₀），则y₀=

1

2

x02，
∴过点P的切线斜率k=x₀，
当x₀=0时不合题意，∴x₀≠0．
∴直线l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x0

，
∴直线l的方程为y-

1

2

x02=-

1

x0

(x-x0)．
此式与y=

1

2

x2联立消去y得
x²+

2

x0

x-

1

2

x02-2=0
设Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中点，
∴

x= x0+x1 2 =- 1 x0 y=- 1 x0 (- 1 x0 -x0)+ 1 2 x02= 1 x 20 + x 20 2 +1

消去x₀，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的轨迹方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1
上式等号仅当x²=

1

2x2

，即x=±

4	1 2

时成立，
所以点M到x轴的最短距离是

2

+1．