题目内容

 (本小题满分16分)

已知数列,且满足).

(1)若,求数列的通项公式;

(2)若,且.记,求证:数列为常数列;

(3)若,且.若数列中必有某数重复出现无数次,求首项应满足的条件.

 

【答案】

 

(1)数列的通项为. (2)见解析;

(3)当时,数列中必有某数重复出现无数次.

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解,以及数列的概念和数列的单调性的运用。

(1)当时,有累加法得到

 

也满足上式,

所以数列的通项为.

(2)因为

所以对任意的

所以数列是一个以6为周期的循环数列

进而证明为常数列

(3)因为,且,所以

且对任意的,有,  

,(其中为常数且),所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.记,构造新数列来分析周期性和最值问题。

(1)当时,有

 ……………………1分

也满足上式,

所以数列的通项为. ………………………………………………………3分

(2)因为

所以对任意的

所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分

又因为,所以

所以

所以数列为常数列. ……………………………………………………………………7分

(3)因为,且,所以

且对任意的,有,  

,(其中为常数且),所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分

,则

(其中中的一个常数),

时,对任意的;…………………………………………12分

时,

 

①若,则对任意的,数列为单调减数列;

②若,则对任意的,数列为单调增数列;

综上,当时,数列中必有某数重复出现无数次……………14分

时,符合要求;当时,符合要求,此时的

时,符合要求,此时的

时,符合要求,此时的

时,符合要求,此时的

时,符合要求,此时的

即当时,数列中必有某数重复出现无数次.………………………16分

 

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