题目内容
(本小题满分16分)
已知数列,
,且满足
(
).
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且
.记
,求证:数列
为常数列;
(3)若,且
.若数列
中必有某数重复出现无数次,求首项
应满足的条件.
(1)数列的通项为
. (2)见解析;
(3)当时,数列
中必有某数重复出现无数次.
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解,以及数列的概念和数列的单调性的运用。
(1)当时,有累加法得到
,
也满足上式,
所以数列的通项为
.
(2)因为,
所以对任意的有
,
所以数列是一个以6为周期的循环数列
进而证明为常数列
(3)因为,且
,所以
,
且对任意的,有
,
设,(其中
为常数且
),所以
,
所以数列均为以7为公差的等差数列.记
,构造新数列来分析周期性和最值问题。
(1)当时,有
……………………1分
,
也满足上式,
所以数列的通项为
. ………………………………………………………3分
(2)因为,
所以对任意的有
,
所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分
又因为,所以
所以
,
所以数列为常数列. ……………………………………………………………………7分
(3)因为,且
,所以
,
且对任意的,有
,
设,(其中
为常数且
),所以
,
所以数列均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分
记,则
,
(其中,
为
中的一个常数),
当时,对任意的
有
;…………………………………………12分
当时,
①若,则对任意的
有
,数列
为单调减数列;
②若,则对任意的
有
,数列
为单调增数列;
综上,当时,数列
中必有某数重复出现无数次……………14分
当时,
符合要求;当
时,
符合要求,此时的
;
当时,
符合要求,此时的
;
当时,
符合要求,此时的
;
当时,
符合要求,此时的
;
当时,
符合要求,此时的
;
即当时,数列
中必有某数重复出现无数次.………………………16分
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