Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：（I）欲证A₁C∥平面AB₁D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面A₁ABB₁内一直线平行，连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥A₁C，DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，满足定理所需条件；
（II）作DF⊥AB于点F，作FG⊥AB₁于点G，连接DG，根据二面角平面角的定义可知∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角，
在Rt△DFG中，求出二面角B-AB₁-D的大小即可．

解答：（I）证明：
连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，
∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角
设A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=

3

4

．
在△ABE中，FG=

3

4

•BE=

3 2

8

，
在Rt△DFG中，tanFGD=

DF

FG

=

6

3

，
所以，二面角B-AB₁-D的大小为arctan

6

3

．

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．