题目内容
20.已知a>0,函数f(x)=lnx-ax(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与曲线C:ρ=-2cosθ相切,求a的值;
(Ⅱ) 求f(x)的在(0,1]上的最大值.(本题极点在坐标原点,极轴为X轴)
分析 (Ⅰ)曲线C:ρ=-2cosθ化为直角坐标方程,求出曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与曲线C:ρ=-2cosθ相切,建立方程,即可求a的值;
(Ⅱ)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求f(x)的在(0,1]上的最大值.
解答 解:(Ⅰ)曲线C:(x-1)2+y2=1,
$f'(x)=\frac{1}{x}-a∴f'(1)=1-a,f(1)=-a$
所以切线为(1-a)x-y-1=0
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与曲线C:ρ=-2cosθ相切,
所以$\frac{|a|}{{\sqrt{{{(1-a)}^2}+1}}}=1⇒a=1$;
(Ⅱ)$f'(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}(x>0)$
①当$\frac{1}{a}≥1$,即0<a≤1时,f'(x)<0在(0,1)恒成立,f(x)max=f(1)=-a
②当$\frac{1}{a}<1$,即a>1时,f(x)在$(0,\frac{1}{a})$增,在$(\frac{1}{a},1)$减,$f{(x)_{max}}=f(\frac{1}{a})=-lna-1$
点评 本题考查导数知识的综合运用,考察直线与圆的位置关系,考查函数的单调性与最大值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 3 | B. | 4π | C. | 6π | D. | 12π |
15.抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P(A),P(B),P(C),则( )
A. | P(A)=P(B)<P(C) | B. | P(A)<P(B)<P(C) | C. | P(A)<P(B)=P(C) | D. | P(C)=P(B)<P(A) |