Question

12．已知函数f（x）=x³-4x²+5x-4，求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 设切点坐标为P（a，a³-4a²+5a-4），根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，而点A（2，-2）在切线上，列出关于a的方程，求解a，即可得到曲线的切线方程．

解答 解：设切点坐标为P（a，a³-4a²+5a-4），
∵f（x）=x³-4x²+5x-4，∴f′（x）=3x²-8x+5，
∴切线的斜率为f′（a）=3a²-8a+5，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根据已知，切线方程过点A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x-y-4=0，
故经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程为y+2=0或x-y-4=0

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．关于曲线的切线问题，要注意审清题中的条件是“在”点处还是“过”点，是本题问题的易错点．属于中档题．