题目内容
【题目】如图,已知点列、
、
、
、
(
)依次为函数
图像上的点,点列
、
、
、
(
)依次为
轴正半轴上的点,其中
(
),对于任意
,点
、
、
构成一个顶角的顶点为
的等腰三角形.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)证明:为常数,并求出数列
的前
项和
;
(3)在上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在,求出
值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析;(3)存在;
的值为
,
,
【解析】
(1)利用点列为函数图像上的点,可求出
的通项公式,进而可证明结论;
(2)与
是等腰三角形,可得
,两式相减可得到
,进而可求得数列
的前
项和
;
(3)要使为直角三角形,可得
,结合数列
的通项公式,分类讨论可求得
的值.
(1)点列、
、
、
、
(
)依次为函数
图像上的点,所以
,
,则
.
故数列是等差数列;
(2)与
是等腰三角形,可得
,相减可得
,即
为常数.
,
,令
,得
,
因为,所以数列
的奇数项可以构成一个以
为首项,公差为2的等差数列,
数列的偶数项可以构成一个以
为首项,公差为2的等差数列,
当为奇数时,
,当
为偶数时,
,
则数列的前
项和
.
(3)要使为直角三角形,则
,即
,
当为奇数时,
,则
,即
,
,
为奇数,
当,得
,当
,得
,
时,不符合题意.
当为偶数时,
,则
,即
,
当,得
,
时,不符合题意.
综上所述,存在直角三角形,此时的值为
.

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