题目内容
【题目】已知点在椭圆上,为坐标原点,直线的斜率与直线的斜率乘积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过点的直线(且)与椭圆交于,两点,关于原点的对称点为(与点不重合),直线,与轴分别交于两点,,求证:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质,得到,得到,再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程,联立方程组,求得,进而求得椭圆的方程;
(Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立,消元,利用韦达定理得到两根和与两根积,将证明结果转化为证明直线,的斜率互为相反数,列式,可证.
(Ⅰ)由题意,,
即① 又②
联立①①解得
所以,椭圆的方程为:.
(Ⅱ)设,,,由,
得,
所以,即,
又因为,所以,,
,,
解法一:要证明,可转化为证明直线,的斜率互为相反数,只需证明,即证明.
∴
∴,∴.
解法二:要证明,可转化为证明直线,与轴交点、连线中点的纵坐标为,即垂直平分即可.
直线与的方程分别为:
,,
分别令,得,
而,同解法一,可得
,即垂直平分.
所以,.
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