题目内容
【题目】如图，在多面体
中，四边形
，
，
均为正方形，点M是
的中点，点H在线段
上，且
与平面
所成角的正弦值为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）构造正方体
，结合正方体，得
，由此能证明
平面
．
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的正弦值．
（1）证明：如图，构造正方体，
结合正方体，得，
平面，
平面，
平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
设
，
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
平面
的法向量
，
，
与平面所成角的正弦值为
．
，
解得
，（舍负），
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
设二面角的平面角为
，
则
，
二面角的正弦值
．
名校课堂系列答案
【题目】随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
数量 | 37 | 104 | 147 | 196 | 216 |
（1）若私家车的数量
与年份编号
满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多中请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：
（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）
参考公式及数据：对于一组数据
，其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
；．
