题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+y2=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积
•
的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．
| x2 |
| 4 |
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积
| PF1 |
| PF2 |
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．
（1）根据题意易知a=2，b=1，c=
，所以F1(-
，0)，F2(
，0)，
设P（x，y），则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y)=x2+y2-3
=x2+1-
-3
=
(3x2-8)．
故-2≤
•
≤1．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，M（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y，整理得：(k2+
)x2+4kx+3=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
由△=(4k)2-4(k+
)×3=4k2-3＞0，
得：k＜
或k＞-
，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?
•
＞0，
∴x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
+
+4
=
．
∵
+
＞0，
即k2＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得-2＜k＜-
，或
＜k＜2．
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=
=
≤
=2
，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
=x2+1-
| x2 |
| 4 |
=
| 1 |
| 4 |
故-2≤
| PF1 |
| PF2 |
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，M（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
| 1 |
| 4 |
∴x1+x2=-
| 4k | ||
k2+
|
| 3 | ||
k2+
|
由△=(4k)2-4(k+
| 1 |
| 4 |
得：k＜
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?
| OM |
| ON |
∴x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
| 3k2 | ||
k2+
|
| -8k2 | ||
k2+
|
=
| -k2+1 | ||
k2+
|
∵
| 3 | ||
k2+
|
| -k2+1 | ||
k2+
|
即k2＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得-2＜k＜-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=
| (x2+2y2)2 |
=
| x22+4y2 2+4x2y2 |
| 2(x22+4y22) |
| 2 |
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2
| 2 |
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目