Question

19．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=AD=2，CD=4，E为边DC的中点．如图1．将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2．
（1）若PA∥平面MQB，求PM：MC；
（2）若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A-MQB的体积．

Answer 1

分析 （1）连AC、BQ，设AC∩BQ=F，连MF，以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC，△FMC∽△APC，即可求PM：MC；
（2）过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M-ABQ的高，利用等体积转换，即可求三棱锥A-MQB的体积．

解答 解：（1）连AC、BQ，设AC∩BQ=F，连MF．
则平面PAC∩平面MQB=MF，因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF．（2分）
在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB=EC=2．
所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC．（4分）
从而△AFQ∽△CFB，AF：FC=AQ：CB=1：2．
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM：MC=AF：FC=1：2．（7分）
（2）由（1）知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE．
因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ=$\sqrt{3}$．
因为PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC．（9分）
过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M-ABQ的高．
因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN．
因为点M是PC的中点，所以MN=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（11分）
由（1）知，△ABE为正三角形，且边长为2．所以，S△ABQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
三棱锥A-MQB的体积V_A-MQB=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{4}$（14分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．