Question

8．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=-x²-3，且f（x）+g（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a+c的值．
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3，由奇函数可得a-1=0，c-3=0，从而求解；
（Ⅱ）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式

解答 解：（Ⅰ）h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵h（x）为奇函数，
∴a-1=0，c-3=0，
∴a=1，c=3，
∴a+c=4．
（Ⅱ）f（x）=x²+bx+3，其图象对称轴为x=-$\frac{b}{2}$，
当-$\frac{b}{2}$≤-1，即b≥2时，
f（x）_min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；
当-2＜$\frac{b}{2}$≤2，即-4≤b＜2时，f（x）_min=f（-$\frac{b}{2}$）=$\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+3$=1，
解得b=-2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$（舍）；
当-$\frac{b}{2}$＞2，即b＜-4时，
f（x）_min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），
∴f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2$\sqrt{2}$x+3．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于中档题．