Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点．
（I）求证：MN∥平面PCD；
（II）在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD中点为F，连接FC，MF．证明四边形MNCF为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB=2，推出B，D，P，C，设PC上一点E坐标为（x，y，z），求出

AE

，平面PBC的法向量

AH

．通过sinθ=|cosα|=

AH • AE

| AH |• |AE |

求解即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连接FC，MF．
∵MF∥AD，MF=

1

2

AD，NC∥AD，NC=

1

2

AD．
∴四边形MNCF为平行四边形，（3分）
∴MN∥FC，又FC?平面PCD，（5分）
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
设AB=2，则B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
设PC上一点E坐标为（x，y，z），

PE

=λ

PC

，
即（x，y，z-2）=λ（2，2，-2），
则E（2λ，2λ，2-2λ）．（7分）
由

AE • PB =0 AE • PD =0

，解得λ=

1

2

．
∴

AE

=(1，1，1)．（9分）
作AH⊥PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，取

AH

为平面PBC的法向量．则

AH

=

1

2

(

AB

+

AP

)=(1，0，1)，
∴设AE与平面PBC所成角为θ，

AH

，

AE

的夹角为α，
则sinθ=|cosα|=

AH • AE

| AH |• |AE |

=

2

3 2

=

6

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查向量数量积公式的应用，考查空间想象能力，计算能力．