Question

如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，  （I）求证：AC⊥BC₁；  （II）求证：AC ₁//平面CDB₁；

Answer 1

解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；

解法二：∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C₁C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C₁C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C₁（0,0，4），B（0,4，0），B₁（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC₁.

（2）设CB₁与C₁B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC₁.

点评：

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2．平行问题的转化：

面面平行线面平行线线平行；

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．