Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=a，E是A₁C₁的中点，F是AB中点．
（1）求证：EF∥面BB₁C₁C；
（2）求直线EF与直线CC₁所成角的正切值；
（3）设二面角E-AB-C的平面角为θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）通过面面平行⇒线面平行；
（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．
（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．

解答：解：（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，
∵EG∥CC₁，CC₁?平面EFG，∴CC₁∥平面EFG，
同理：BC∥平面EFG，
又∵BC、CC₁?平面BCC₁B₁，∴平面EFG∥平面BCC₁B₁．
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG⊥平面ABC
∵EG∥CC₁，∠FEG为直线EF与CC₁所成的角
△EFG为Rt△，∴tan∠FEG=

FG

EG

=

1 2 a

a

=

1

2

．
（3）取AF的中点H，连接GH、EH，
∵AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，
有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，
∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角，
又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，HG=

1

2

FC=

2

4

a，EG=CC₁=a，
则tanθ=

EG

HG

=

a

2 4 a

=2

2

．

点评：本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．空间角的求法：1、作角（作平行线或垂线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．