Question

【题目】对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：

①在内单调递增或单调递减；

②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数.

（1）求闭函数符合条件②的区间；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是闭函数，理由见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据闭函数的定义解即可；（2）先判断函数的单调性，再根据闭函数的定义判断；（3）先假设函数为闭函数，从而得到为方程的两个实根，从而利用韦达定理与二次函数的图象与性质求得实数的取值范围．

试题解析：（1）由题意，在上递减，则，解得，

所以，所求的区间为．

（2）取，则，即不是上的减函数，

取，即不是上的增函数，

所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.

（3）若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，

即，∴为方程的两个实根，

即方程有两个不等的实根，

当时，有，解得，当时，有，无解．

综上所述，.