题目内容
【题目】设点
的坐标分别为
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积是
.
（1）求点
的轨迹
的方程；
（2）直线
与曲线
相交于
两点，若
是否存在实数
，使得
的面积为
?若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）
；（2）不存在
【解析】试题分析：（1）根据题意，得
，整理得
的轨迹
为
；（2）联立
，化为： 
， 
，得到韦达定理
，求出弦长
，再求出
到直线
的距离
，写出面积方程
，解出
，但此时直线方程过
、
，这两点由（1）知是取不到的，所以不存在。
试题解析：
（1）设点
的坐标为
，因为点
的坐标是
，所以直线
的斜率
同理，直线
的斜率
所以
化简得点
的轨迹方程
为
（2）设
联立
，化为： 
，
，∴
，∴
点
到直线
的距离
∴
，解得： 
，解得
，因为当
时直线
过点
，当
时直线
过点
，因此不存在实数
，使得
的面积为
.
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= 
．