Question

【题目】某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q= （x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，

每万件销售价为 ，

∴年销售收入为 = ，

∴年利润 =

（2）解：令x+1=t（t≥1），则 ．

∵t≥1，∴ ，即W≤42，

当且仅当 ，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．

即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．

【解析】（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．