题目内容
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= 
．
【答案】
（1）解：由表中数据得K2的观测值K2= 
= 
＞5.024．
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（2）解：设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，
则基本事件满足的区域为 
（如图所示）．
设事件A为“乙比甲先做完此道题”
则满足的区域为x＞y．
∴P（A）= 
= 
即乙比甲先解答完的概率为 ．
（3）解：在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有 
=28 种，
其中甲、乙两人都不被被抽到有 
=15种；恰有一人被抽到有 
=12种；两人都被抽到有 
=1种．
X可能取值为0，1，2，
P（X=0）= 
，P（X=1）= 
，P（X=2）= 
．
X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
∴E（X）=0× +1× 
+2× = 
【解析】（1）计算K2 ， 对照附表做结论；（2）作出甲，乙两人解答时间的平面区域，找出乙比甲早做完对于的区域，则区域面积的比值即为所求概率；（3）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．
