题目内容

已知函数
(1)若函数上是减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,当是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)当时,证明:.

(1);(2)详见解析;(3)详见解析.

解析试题分析:(1)先对函数进行求导,根据函数h(x)在[2,3]上是减函数,可得到其导函数在[2,3]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得a的范围;(2)先假设存在,然后对函数g(x)进行求导,再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0,e]上的单调性和最小值取得,可知当a=e2能够保证当x∈(0,e]时g(x)有最小值3;(3)结合(2)知的最小值为3,只须证明即可,令,则上单调递增,∴的最大值为 ,即得证.
解:(1)令,则
  (1分))∵上是减函数,
上恒成立,即上恒成立 (2分)
上是减函数,∴的最小值为
  (4分)
(2)假设存在实数,使有最小值是3,∵
,则,∴上为减函数,的最小值为
矛盾, (5分)
时,令,则
,即上单调递减,在上单调递增
,解得   (7分)
,即时,上单调递减
矛盾,  (9分)
(3)∵,由整理得, (10分)
而由(2)知的最小值为3,只须证明即可  (11分))
,则上单调递增,
的最大值为(12分)
,即   (14分)
(接11分处另解, 即证,即证

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