Question

12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1．
（1）求角A；
（2）若$\overrightarrow{p}$=（sinB，-3cosB），$\overrightarrow{q}$=（sinB，cosB），且$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$，求tanC．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，再根据两角差的正弦公式即可得出$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而根据A为三角形的内角，从而可以得出A-$\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，从而得到A=$\frac{π}{3}$；
（2）根据$\overrightarrow{p}⊥\overrightarrow{q}$便有$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=0$，进行数量积的坐标运算即可得出tan²B=3，从而有$tanB=±\sqrt{3}$，而根据0＜B$＜\frac{2π}{3}$，从而便可得出tanB=$\sqrt{3}$，从而得出角B，这样便可得出角C，从而求出tanC．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-cosA+\sqrt{3}sinA=2sin（A-\frac{π}{6}）=1$；
∴$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
∵A为三角形内角，0＜A＜π；
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{p}⊥\overrightarrow{q}$；
∴$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=si{n}^{2}B-3co{s}^{2}B=0$；
∴sin²B=3cos²B；
∴tan²B=3，$tanB=±\sqrt{3}$；
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$；
∴$tanB=\sqrt{3}$；
即B=$\frac{π}{3}$；
∴$tanC=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．

点评 考查数量积的坐标运算，两角差的正弦公式，已知三角函数值求角，三角形内角的范围，以及相互垂直向量的数量积情况，弦化切公式．