Question

7．有五个退役运动员和A，B两个教练拍照留念，将这七个人排成一排，要求两端都是运动员．
（1）如果每个教练的两侧都是运动员，那么共有多少种不同的排法？
（2）如果A教练和表现最为突出的运动员相邻排在一起，那么共有多少种不同的排法？

Answer 1

分析 （1）利用插空法，先排5个运动员，形成了4个间隔（不包含两端），将2个教练插入即可；
（2）利用捆绑法，把A教练和表现最为突出的运动员捆绑在一起，看作一个复合元素和另外的5人全排即可．

解答 解：（1）先排5个运动员，形成了4个间隔（不包含两端），将2个教练插入，故有A₅⁵A₄²=1440种，
（2）先排运动员：不妨设表现最突出运动员为甲，
①当甲在两端时，运动员的排列情况有：2×${A}_{4}^{4}$=48种，此时A教练只能排在甲的内侧，B可以排在余下的3个空位；
所以情况共有：2×${A}_{4}^{4}$×1×3=144种；
②当甲不在两端时，运动员的排法有：${A}_{4}^{4}$×${C}_{3}^{1}$=72种，A与甲相邻，有两种排法，B可以排在余下的3个空位；
所以情况共有：${A}_{4}^{4}$×${C}_{3}^{1}$×2×3=432种
综上，所有排法共有144+432=576种．

点评 本题考查了站队问题中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．