Question

13．已知函数y_i=$\frac{1}{（{x}_{i}+1）（{x}_{i}+2）}$，令x_i=i，则y₁+y₂+y₃…+y₂₀=（　　）

• A． $\frac{16}{37}$
• B． $\frac{15}{41}$
• C． $\frac{5}{11}$
• D． $\frac{19}{42}$

Answer 1

分析 通过等量代换、裂项可知y_i=$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$，并项相加即得结论．

解答 解：依题意，y_i=$\frac{1}{（{x}_{i}+1）（{x}_{i}+2）}$
=$\frac{1}{（i+1）（i+2）}$
=$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$，
∴y₁+y₂+y₃…+y₂₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{22}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{22}$
=$\frac{5}{11}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项与求和，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．